Matemática II - Derivadas

DERIVADA

            La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

TABLA DE DERIVADAS

Las derivadas utilizadas con mayor frecuencia son las siguientes:

Para reforzar información puedes visitar: Fórmulas de Derivadas

EJEMPLOS DERIVADAS

EJERCICIO N°1-DERIVADAS

EJERCICIO N°2-DERIVADAS

EJERCICIO N°3-DERIVADAS

Algunos vídeos sobre Derivadas:

Introducción a la Derivada

Matemática II - Integrales

    

Integrales

  La antiderivada, integral o primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.
            Por lo tanto, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

∫ f(x) dx = F(x) + C

De manera que:

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar
dx es la variable de integración o diferencial de x
C es la constante de integración

video Introducción a Integrales 

Para información detallada puedes visitar: Integración

Tabla de Integrales

Ejemplo de Integrales

      

•     ∫ 5 dx

             Pasos para resolver la integral:

-          Ya que 5 es una constante, podemos fácilmente colocarla fuera de la integral, y nos quedaría:

5 ∫ dx

-          Luego, de acuerdo a la tabla buscamos la fórmula que pueda ser aplicada a dicha integral, en este caso es ∫ dx  =  x + c

             De manera que nos quedaría:     5 ∫ dx  =     5x + c

·         Para comprobar que este resultado es correcto, simplemente lo derivamos y nos debe resultar la función dada:

                                                            f(x) = 5x = 5

Integrales Inmediatas

             Son aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. Dicho de otra forma, se puede considerar como aquellas que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive dé como resultado la que está en la integral.

             Algunas de las integrales inmediatas mayormente utilizadas son:

1.      Integral de una constante: La integral de una constante es igual a la constante por x.

                                  ∫ k dx = k.x +c

2.      Integral de cero:     ∫ 0 dx = c

3.      Integral de una potencia:

EJERCICIO N°1-INTEGRALES INMEDIATAS

EJERCICIO N°2-INTEGRALES INMEDIATAS

EJERCICIO N°3-INTEGRALES INMEDIATAS

EJERCICIO N°4-INTEGRALES INMEDIATAS

Integrales Definidas

    Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

 

 

 

           La integral definida se representa por:

Dónde:

            ∫ es el signo de integración.

      a es el límite inferior de la integración.

      b es el límite superior de la integración.

            f(x) es el integrando o función a integrar.

            dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

      

Propiedades de la Integral Definida

 

1.  El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2.  Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

 

3.  Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.  La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

 

5.  La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

 

             Ejercicios:



 

 

 

Procedemos a integrar:

 

 

Procedemos a integrar:

 



       





  

Para reforzar información puedes observar el siguiente video:

    Integral por sustitución o cambio de variable

      Esta técnica no es otra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su  integral.

Para mas información puedes ver este vídeo: 

EJERCICIO N°1-INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN

EJERCICIO N°2-INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN

EJERCICIO N°3-INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN

Para reforzar información puedes observar éste vídeo:

Integral por parte

           El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:



          Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

         Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

          Ejercicios:

Pasos:

·         Se identifica (u) y (dv)

·         Se determina (du) y (v)

·         Se reescribe la integral, de acuerdo a la fórmula de integración por partes

·         Se integra



Para reforzar información puedes ver éste vídeo: